Matematikte Kesinlik Problemi

Bilim ve Sanat Vakfı Medeniyet Araştırmaları Merkezi’nin düzenlediği Dîvân Toplantıları’nın Nisan ayındaki konuğu Mehmet Ali Çalışkan’dı. Matematiksel bilginin kesinliği ile ilgili tartışmalar çerçevesinde “hesaplanabilirlik problemi”ni ele alan Çalışkan, matematikteki kesinlik probleminin tarihsel bir zeminde açıklamasını yaparak sunumuna başladı.

Klasik bilgi teorisinde aklettiğimiz âlemin (matematiksel dünya) hakikat, hissettiğimiz âlemin (fizik dünya) ise dış dünyaile ilişkili olduğundan söz eden Çalışkan, matematiğin, felsefede tamamlanmamış ve tam formuna ulaşmamış bir dış dünya karşısında tamamlanmış ve kesin olan şeklinde değerlendirilen bir matematik olduğunu belirtti. Dolayısıyla klasik dönemde mutlak bir matematiksel bilginin izafi bir evreni temsil edemeyeceği, yalnızca hakikat ile ilişkili olabileceği düşünülüyordu. Aydınlanma’yla formunu bulan modern bilgi teorisinde ise fiziğin determinist bir çerçeveye kavuştuğunu ve kesin matematiksel bilginin evreni temsil edebilir bir noktaya geldiğini ifade eden Çalışkan, akledilen âlemin de insan zihni ile yer değiştirdiğini belirtti. Çağdaş bilgi teorisinde indeterminist hal alan fiziğin yanında aynı macerayı yaşayan matematiğin de mutlak ve tamamlanmış yapısının eksik, tutarsız ve izafi bir duruma dönüştüğünden söz eden Çalışkan, matematikte kesinlik problemine dair yirminci yüzyılın başlarında meydana gelen gelişmelerden bahsederek konuşmasını sürdürdü.

Çalışkan, 1910 yılında Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead tarafından yayınlanan Principia Mathematica’nın mutlak bir fiziksel evrenle örtüşen çok güçlü bir matematiği gösterdiğini belirtti. Kitabın yazarlarından matematiğin kesinliğine inanan Russell, 1900 yılında kendi düşüncesinin temellerini sarsan ve matematiğin çelişkilerden arınmamış olduğunu gösteren paradoksunu (Russell Paradoksu), 1908 yılında keşfettiği “Tipler Kuramı” ile ortadan kaldırdı. Çalışkan, bu kurama rağmen Russell Paradoksu’nun çağdaş dönem matematiğini harekete geçiren bir paradoks olduğunu vurguladı.

Ünlü matematikçi David Hilbert’in 1920 yılında, gündelik dille oluşturulan matematiğin bu tip paradoksları ortaya çıkardığından ve bu nedenle üst bir matematik dilini gerektirdiğinden bahsettiğini ifade eden Çalışkan, Hilbert’in dört önerisini formalizasyon, matematiğin tamamlanmış olması, tutarlılık, karar verilebilirlikolarak özetledi. Tüm matematiğin kendisinden neşet ettiği sonlu bir aksiyom sistemi olduğunu (FAS: Formal Aksiyomatik Sistem), bu aksiyomatik sisteme dayanan bütün matematiksel önermelerin bir mantık makinesiyle keşfedilebileceğini ve bu makinenin herhangi bir önermenin doğru olup olmadığını ispatlayabileceğini ileri süren Hilbert, Çalışkan’a göre, insan düşüncesinin temel ilkelere indirgenebileceğini ve mekanik bir alet yardımıyla bu ilkelerin taklit edilebileceğini düşünen yapay zekâcıların öngörüsünü oluşturdu.

Çalışkan, sunumuna, 1931 yılında Hilbert’in sisteminde formal olarak karar verilemez önermeler bulunduğunu ispat eden ve Hilbert formalizminin çöküşü anlamına gelen “Eksiklik Teoremleri”ni yayınlayan Kurt Gödel ile devam etti. Gödel, bu teoremde “tutarlı bir sistem eksiktir ve bu sistemin aksiyomlarının tutarlılığı da sistem içinde ispatlanamaz” diyerek matematiğin tümü için biçimsel bir aksiyomatik sisteme sahip olacak hiçbir yol olmadığını ifade etmişti. Gödel’in teoremlerinden ilk bakışta çıkarılabilecek fikir, bir daire çizip bir şey sınırlandırıldığında o dairenin içinde kalan şeyler ve dairenin kendisi hakkında konuşulamayacağı, daire yani sınırlar hakkında konuşmanın ise ancak sınırların dışındaki unsurları kullanmakla mümkün olacağıdır. Böylece Gödel’in çağdaş fiziğin kendi imkânlarıyla kendini açıklayamaz oluşuna benzer bir şeyi matematikte yaptığını ifade eden Çalışkan, bununla birlikte Gödel’in yöntem olarak çok farklı bir şey yaparak bizi bilgisayarlara biraz daha yaklaştırdığını belirtti.

Gödel’in anlaşılması için Turing’i beklemek zorunda kaldığımızı ifade eden Çalışkan, Turing’in Gödel’in problemini, günümüzde “Turing Makinesi” olarak adlandırılan bir düşünce deneyine indirgediğinden bahsetti. Tüm matematiksel işlemlerin temel bileşenlerine indirgenmesinden söz ettiği makalesini 1936 yılında yayınlayan Turing, algoritmanın ve bilgisayarların olmadığı bir çağda bilgisayara en yakın tanımı yapmış oldu.

Modern dönem matematikçilerinden hesaplanabilirlik problemi üzerine çalışmış Gregory Chaitin, 1987 yılında açıkladığı “Algoritmik Enformasyon Teorisi” ile Omega Sayısı’nın (bir Turing makinesinin durma olasılığını ifade eden sayı) hesaplanamaz olduğunu ispatlayarak bu sayının rastlantısal olduğunu gösterdi. Böylece Chaitin matematiksel doğruların mutlak bir neden olmadan yani rastlantı icabı doğru olduğunu kanıtlamış oldu. Chaitin’in matematiğin tıpkı fizik gibi deneysel doğrulara dayandığını, mutlak olmadığını, rastlantısal olduğunu ileri sürerek bir anlamda Kant’ı ötelediğini söyleyen Çalışkan, onun “yapısal rastlantı”yı hayatımıza soktuğunu, tüm fizik kanunlarının yapısal bir rastlantı olduğunu ve evrene asla pozitif bir şekilde yaklaşamayacağımızı iddia ettiğini belirtti.

Son olarak, “Matematik mutlak olduğu zaman mı yoksa olmadığı zaman mı tanrısaldır?” sorusunu dile getiren Çalışkan, Gödel’in mutlak yapısını bozup onu tutarsız göstererek matematiğin tanrısallığını yıktığının düşünüldüğünü, ancak zaman içinde tam tersinin ortaya çıktığını belirtti. Çalışkan’a göre, Gödel bir anlamda matematiği sınırsızlaştırmış ve onu tanrısal bir alana taşımıştır.